De horizon ontstaat daar waar de kromming van de aardbol ons het zicht beneemt. Het is een grens, meer van meetkundige dan fysieke aard. Je zou denken dat in een wereld waarin geen hoogte voorkomt, ook geen horizon bestaat. Tenslotte kan het horizoneffect pas ontstaan als iemand in een wereld met drie dimensies, staande op een gekromd oppervlak, in de verte kijkt.

Maar wie de beschrijvingen leest van zo’n tweedimensionale wereld in het boek Flatland, van Edwin A. Abbott (1882) trekt een radicaal tegengestelde conclusie. Wanneer alle bewoners, en alle voorwerpen en gebouwen in hun wereld, geen hoogte hebben, kunnen ze alleen bestaan uit rechte of gekromde lijnen. Een vijfhoek, driehoek of cirkel zoals wij die tekenen, met overzicht vanuit een derde dimensie, kunnen de bewoners van de radicaal vlakke wereld natuurlijk nooit waarnemen. Ieder ander wezen of voorwerp verschijnt hun als een lijn. Een cirkel zal een wat zachtere contour hebben dan een driehoek, maar of het nu om een huis, een bakker, een kast of een maîtresse gaat, meer dan een van maat veranderende lijn valt er niet waar te nemen. Het vereist een omslachtige procedure erachter te komen hoe een ander eruitziet om hem of haar te herkennen. Omdat vrouwen een naaldvorm hebben en dus niet alleen gevaarlijk scherp zijn, maar ook vaak zo goed als onzichtbaar worden, zijn ze, om ongelukken te voorkomen, bij wet verplicht voortdurend een neuriënd geluid te maken (de zogenaamde continuous peace-cry) en zonder ophouden met hun achterdeel te wiebelen.

De horizon is daar waar de wereld een lijn wordt. De satirische roman over de wiskundige A. Square, aan wie het Evangelie van de derde dimensie wordt geopenbaard, speelt zich af op een vlak dat nog het meest weg heeft van een monsterlijk uitvergrote horizon. De hele wereld is horizon geworden.

Abbott was behalve classicus en wiskundige vooral theoloog en anglicaans priester. In de hevige controverse over de relatie tussen geloof en wetenschap, die in zijn tijd woedde, nam Abbott een gematigde en verlichte positie in. Hij keerde zich zowel tegen de dogmatische materialisten en atheïsten als tegen de dogmatische gelovigen, die het gezag van de traditie of de persoonlijke, emotionele relatie tot het bovennatuurlijke stelden boven de uitkomsten van de wetenschap.

Tegelijkertijd woedde er in de wetenschap een vergelijkbaar debat. Dat ging tussen de radicale empiristen, die beweerden dat natuurwetten af te leiden waren door de logische patronen te beschrijven in grote hoeveelheden waarnemingen, en de zogenaamde idealisten, die dachten dat waarnemingen onontbeerlijk waren, maar dat het de theorie in de vorm van een hypothese was die orde moest aanbrengen in de meetgegevens. Zonder concepten en theorie kon er geen wetenschap bestaan. De empiristen noemden dat onwetenschappelijk, omdat op die manier de verbeelding, in de vorm van theorieën en hypothese, voorafgaand aan de waarnemingen, een hoofdrol in de natuurwetenschap zou krijgen.

Abbott nam ook hier een bemiddelende en verlichte positie in. Hij huldigde het moderne standpunt, dat de wetenschap de hypothetische theorievorming nodig had, gebaseerd op speculaties en intuïties. Om je betrouwbare kennis van de wereld te kunnen vergroten moest je soms een leap of faith nemen, een voorstelling van zaken toelaten die ongerijmd en nog onbewijsbaar was. Vervolgens was het zaak die theorie in een experiment om te zetten dat de hypotheses kon bevestigen of weerleggen. En daarmee leek hij de relatie tussen geloof en wetenschap te schetsen als die tussen verschillende soorten van onvolmaakte kennis, die elkaar (zo vertrouwde hij), vanuit een hoger kennisniveau gezien, perfect aanvulden. Sterker, de verschillen zouden wel eens op een illusie kunnen berusten, veroorzaakt door menselijke kortzichtigheid.

Abbotts satire voert een wereld op die veel weg heeft van de victoriaanse maatschappij waarin hij leeft. Strikte klasseverhoudingen, de verstikkende dominantie van een strenge, rationele moraal, een wreed en gewelddadig staatsgezag, een obsessie met het verhinderen van volksopstanden en revoluties, de positie van vrouwen als tweederangs mensen en de agressieve discriminatie van iedereen die afweek van de door de heersende klasse voorgeschreven norm.

Geen sinecure om in zo’n wereld, waar kleur bovendien verboden is, te komen verkondigen dat er een derde dimensie is. Dat er niet alleen Oost, West, Noord en Zuid bestaan, maar ook Omhoog, dat er ongekende wezens bestaan met wonderlijke vormen. Na een ontmoeting met Sphere, een bolvormige ‘engel’ uit de derde dimensie of Spaceland, krijgt hij ook nog een kijkje in een wereld waar zelfs geen lijnen maar alleen punten bestaan en zelfs in een wereld waarin geen enkele dimensie is en de enige bewoner geen verschil kan waarnemen tussen hemzelf en andere fenomenen. Oftewel, met behulp van analogieën wordt hem duidelijk wat de relatie tussen de dimensies is. Duizelingwekkend, misselijk-makend, maar ook verhelderend is zijn korte bezoek aan Spaceland.

De profeet mag nog zo veel moeite doen zijn ervaringen en inzichten in uitleg en analogieën te gieten, zijn mede-_Flatlanders_ blijven uiterst vijandig tegenover hem staan. Ze verklaren hem voor gek. Zijn uiteenzettingen worden zelfs opruiend gevonden. Square gedraagt zich ook als een visionair, die een soort revolutie predikt. Hij wordt gevangengezet wegens ketterij. Het wat trieste einde is dat hij eraan gaat twijfelen of hij wel begrepen heeft wat hem is overkomen. Hij voelt de kracht van zijn overdonderende ervaring wegvloeien en het beeld ervan vervagen.

Veel mensen hebben erop gewezen dat Flatland lijkt op Plato’s allegorie van de grot in zijn boek De Staat. Ook daar wordt een breuk met een beperkt maar samenhangend wereldbeeld (het schaduwspel in de grot) en de onthulling van de wereld die de schijn veroorzaakt, als een ontregelende maar openbarende ervaring afgeschilderd, die maar geleidelijk aan inzichtelijk kan worden. En ook daar wordt nadrukkelijk gewaarschuwd voor het lot van degene die na het aanschouwen van de hogere werkelijkheid, terugkeert in de vorige dimensie. Hij zal worden bespot en vervolgd. Sterker: Plato voorspelt dat als je de geketende grotbewoners bevrijdt, ze de brenger van de kennis van de wereld buiten de grot zullen doodslaan.

Opvallend is dat Plato als enige remedie tegen het overbruggen van die kloof van jongs af aan onderwijs in de wiskunde aanbeveelt. Dat is het soort kennis dat ontvankelijk maakt voor de complexe relaties tussen de wereld zoals we die ervaren en de achterliggende werkelijkheid van Ideeën, die onze (schijn)wereld regeert. Wiskunde is de sleutel om de relatie tussen de werkelijkheid en het achterliggende besturingssysteem van Ideeën te leren zien, maar maakt vooral bescheiden.

Abbott zei het zo, in een boek dat hij zeven jaar na Flatland schreef:

Wiskunde mag ons bijstaan in het meten en wegen van de planeten, bij de ontdekking van de materialen waaruit ze zijn samengesteld, en ons helpen licht en warmte te winnen uit de beweging van water en de materiële wereld te overheersen; maar zelfs als we met behulp van zulke middelen op Mars terecht zouden komen of konden converseren met de bewoners van Jupiter en Saturnus, dan zouden we geen stap dichter bij de goddelijke troon zijn, tenzij die nieuwe ervaringen bijdragen aan de ontwikkeling van onze bescheidenheid, respect voor de feiten, een dieper ontzag voor orde en harmonie en een opener geest als het aankomt op nieuwe waarnemingen en verse gevolgtrekkingen uit oude waarheden.

Je zou kunnen zeggen dat Abbott in Flatland waarschuwt voor een te groot vertrouwen in het geloof, het intuïtieve en analogische denken. En dus ook in de maatschappelijke en wetenschappelijke toepassing van het christelijk geloof. Square denkt dat hij met ‘evangelische’ middelen zijn landgenoten van de hogere werkelijkheid kan overtuigen. Met bevlogenheid, goede bedoelingen en pakkende beelden. Maar zonder degelijke, rationele en feitelijke bewijzen zal de ‘hogere’ kennis niet geaccepteerd worden en dus ook geen heilzame uitwerking hebben. Hoe noodzakelijk de paradigmatische sprong, de leap of faith ook is, ze is niet voldoende; dat lijkt de moraal van Flatland. Het lijkt een waarschuwing voor de overmoed die kan volgen op het verwerven van kennis.

Met de stormachtige ontwikkelingen in de natuurwetenschap rond 1900 beleefde ook de wiskunde een grote bloei. Je zou kunnen zeggen dat de wiskunde methodes ontwierp om beschrijvingen te vinden voor de ontdekkingen in de natuurkunde, die onze directe waarneming en voorstellingsvermogen te boven gingen. Onderdeel daarvan was het ontwerpen van wiskundige theorieën die dimensies postuleerden die de gewone, derde dimensie van de dagelijkse waarneming overstegen. Een vierde, vijfde, zesde enzovoorts. Riemann is de eerste en beroemdste denker op dit terrein, maar het waren vooral de publicaties van Poincaré en Jouffret in Frankrijk die invloed kregen buiten de natuurwetenschap. Dat kwam doordat de wiskundigen moeite deden hun theorieën te populariseren.

In 1904 publiceerde C. Howard Hinton een boekje, The Fourth Dimension, waarin hij het construeren van een vierde dimensie meetkundig uiteenzette en bovendien pogingen deed om aanschouwelijk te maken hoe het kwam dat wij, bewoners van de derde dimensie, die vierde dimensie niet kunnen zien, maar wel de werking ervan kunnen afleiden. Hij deed veel moeite om de bewegingen van meetkundige objecten met behulp van modellen met tien kleuren te demonstreren en gebruikte voorbeelden uit de elektrotechniek, de scheikunde (de beweging van moleculen) en de biologie (de symmetrie van organische vormen) om de meetkunde van de vierde dimensie aanschouwelijk te maken. Dat deed hij, net als Poincaré en Jouffret, ook door analogieën te maken met een wereld van twee dimensies, waarin het vlak dat die wereld is, doorsneden wordt door een object uit de derde. Ook daar is het verschijnen en verdwijnen van een object niet mysterieus, maar te beschrijven volgens meetkundige regels. Niet verwonderlijk dat Abbotts Flatland vaak ter sprake komt en een eigen rol krijgt in het populariseren van de vierde dimensie.

Door de meetkundige voorbeelden, het praten over symmetrie, assen waar vlakken om draaien, de verschijning en verdwijning van vierdimensionale ‘hyperkubussen’, trekken de populariseringen vooral de aandacht van beeldend kunstenaars. In de kunst zoekt men naarstig naar manieren om het geestelijke, het immateriële op een nieuwe manier (niet meer door middel van symbolen en verwijzingen) vorm te geven. Op een moderne manier, die meer in overeenstemming is met de verandering van het dagelijks leven en de directe ervaring door industrialisatie, mechanisatie en de wonderlijke beloftes die de technologie van elektriciteit leek te bieden. Dat de vierde dimensie ook gretig werd aangegrepen door theosofen en andere occulte theoretici (Blavatski, Ouspenski) om hun veronderstelde diepe inzicht in de hogere geestelijke realiteit kracht bij te zetten, wakkerde de interesse van kunstenaars alleen maar aan. Mondriaans ‘neoplasticisme’ is ondenkbaar zonder zijn geloof in achter de waarneembare werkelijkheid liggende ‘vormen’ en een aanvankelijk theosofisch geïnspireerde toepassing van zulke denkbeelden op de schilderkunst.

De kunstenaarsgroep La Section d’Or die in Parijs actief is rond de tijd dat het kubisme ontstaat in het werk van Picasso en Braque, geldt als de meest actieve bron van pogingen om de ideeën van Poincaré en Jouffret in de kunst toe te passen. Zoals te verwachten bekommeren ze zich niet al te veel om de wetenschappelijke en wiskundige finesses. Ze zijn even enthousiast over de fantastische pseudo-wiskundige bespiegelingen van ene Princet of de bizarre sciencefictionroman Voyage au pays de la quatrième dimension van Gaston Pawlowsky die rond 1907 furore maakt. Daarin gaat de wereld zoals we die kennen ten onder en ontstaat er een utopische, betere wereld, als de vierde dimensie doorbreekt en zich een nieuwe beschaving ontwikkelt.

Wie de illustraties in de boeken van Jouffret, Hinton en Poincaré ziet, vooral de voorstellingen van hyperkubussen, waarvan de verschijningen bij draaiing om een vlak duidelijk gemaakt worden door verschillende kleurvlakken, kan niet anders dan aan de eerste kubistische schilderijen van Picasso en Braque denken. Niet alleen het analytische kubisme is direct beïnvloed door de pogingen om de onzichtbare vierde dimensie af te beelden, ook in het werk van Marcel Duchamp is vanaf 1911 expliciet sprake van het gebruik van niet-euclidische wiskunde. Zijn schilderijen van schaakspelers, de koning en koningin omringd door snelle naakten, het naakt dat de trap afdaalt en de trieste jonge man op de trein zijn toepassingen van wat hij elementair parallellisme noemt in zijn aantekeningen in de ‘Groene Doos’:

Het is de herhaling van een lijn equivalent aan een elementaire lijn (in de zin van gelijkwaardig op ieder punt) om een oppervlak te genereren. Hetzelfde parallellisme om van een vlak naar een volume te gaan: een soort van parallelle vermenigvuldiging van een n-de dimensioneel continuüm om een n+1 dimensioneel continuüm te vormen.

Het ontwerp van zijn ‘Grote Glas’ en de vele voorstudies ervoor zijn gebaseerd op het idee dat een vierdimensionale gebeurtenis geprojecteerd wordt in een voorwerp in de derde dimensie. Met alle gezichtsbedrog, mysteries en vervormingen van dien. Het is als de schaduw die een driedimensionaal lichaam werpt in het platte vlak.

In de modernistische avant-gardes is een poging te zien om door het gebruik van een autonome beeldtaal, die breekt met de traditionele regels van het representeren van de werkelijkheid zoals we die in de natuurlijke aanschouwing kennen, een denkbare parallelle werkelijkheid te verbeelden. Niet zomaar een fantasie, maar een werkelijkheid die onze zintuigen ontsnapt, zoals de ruimtelijke wereld onwaarneembaar is voor de bewoners van Flatland. Kunst zou een manier kunnen bieden die parallelle wereld, die we al snel als bovennatuurlijk zien, grijpbaar te maken. Door de verbeelding.

Sommige kunstenaars koesterden daar utopische voorstellingen bij, zoals Mondriaan, die ook een maatschappelijke rol zag weggelegd voor zijn Nieuwe Beelding of Neoplasticisme. Anderen, zoals Picasso, zagen er vooral het begin in van de bevrijding van de schilderkunst en experimenteerden verder met een nieuwe vorm van schoonheid, door het vrije gebruik van lijn, volume, ruimtelijke illusie en kleur bij het weergeven van lichamen, scènes of historische gebeurtenissen. Weer anderen, zoals Duchamp, en veel surrealisten, gebruikten de leap of faith naar de parallelle wereld van de vierde dimensie vooral om een ontregelend spel te spelen met de rationele en de esthetische methodes waarmee we greep proberen te krijgen op de raadsels waar het leven en de wereld ons voor stellen.

Gezien vanuit de vierde of vijfde of n-de dimensie, waarin de slecht voorstelbare gebeurtenissen zich afspelen die de snaartheorie en de kwantummechanica beschrijven, zijn wij bewoners van een Flatland. Opgesloten in een horizon die ons het zicht ontneemt op de mechanismes en wetten die onze wereld besturen. Tot de dag dat we bezoek krijgen van wezens uit die dimensies, die ons – zoals Sphere dat met Square deed – op excursie nemen en direct inzicht geven in die parallelle wereld, moeten we het doen met theorieën, berekeningen, hypotheses en experimenten die hooguit denkbaar maken hoe het in werkelijkheid toegaat in het universum. En zelfs dat is maar voor zeer weinigen van ons weggelegd. De anderen moeten zich tevredenstellen met de verbeelding. Dat wil zeggen, met analogieën, pogingen om met geluiden, beelden en verhalen de ongerijmdheden van de wereld te temmen en een draaglijke vorm te geven aan onze oeroude verlangens, angsten en zelfdestructieve neigingen. Op die manier construeren we een denkbeeldige extra dimensie om niet vernederd te worden door de platheid van de dimensie die we bewonen. Zo projecteren we kleur, diepte en betekenis op de horizon die ons omringt en gevangenhoudt.